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Mathe III - Resurrection <^^>
04.02.2008 22:37 |
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Da hier momentan nicht so viel los ist wiederbelebe ich den Mathe-Thread mal wieder. Wer interessiert ist kann mitschreiben/-lesen, wer nicht ignoriert ihn am besten. 
Vielleicht schaut ja sogar Xoc mal wieder vorbei. 
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...nun zum Thema:
Die Menge der reellen Zahlen (Wurzeln, Potenzen etc.) ist überabzählbar unendlich groß*, d. h. es gibt keine Funktion f(n), die mir jede beliebige reelle Zahl ausspucken kann, wobei n eine natürliche Zahl ist.
Daraus lässt sich schließen dass es nicht möglich ist, mit Hilfe eines endlichen Zeichensatzes (wie dem der Mathematik) jede beliebige reelle Zahl darzustellen.
Was mich nun interessieren würde:
1) Lässt sich jede beliebige reelle Zahl durch einen speziellen Zeichensatz darstellen, der jedoch natürlich nicht jede beliebige weitere reelle Zahl darstellen kann? (ich glaube nicht, mir fällt allerdings so direkt kein Gegenbeweis ein)
2) Hat sich schon irgendein Mathematiker Gedanken über einen abzählbar unendlich großen Zahlenkörper gemacht, der alle rationalen Zahlen und mehrere (so viele wie möglich?) reelle Zahlen beinhaltet? Also sowas wie die Menge der mit mathematischen Symbolen darstellbaren reellen Zahlen, oder die aller mit einem endlichen Zeichensatz darstellbaren reellen Zahlen, falls 1) nicht zutrifft.
* Abzählbar unendlich groß heißt übrigens unendlich groß, aber nicht überabzählbar, was auf die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen (Brüche der Form p/q) zutrifft.
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RE: Mathe III - Resurrection <^^>
05.02.2008 17:10 |
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| Zitat: |
Original von Yog-Sothoth
Daraus lässt sich schließen dass es nicht möglich ist, mit Hilfe eines endlichen Zeichensatzes (wie dem der Mathematik) jede beliebige reelle Zahl darzustellen.
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Du solltest dazu sagen, dass es keine endliche Darstellung gibt. Eine unendliche Darstellung gibt es selbstverständlich.
| Zitat: |
1) Lässt sich jede beliebige reelle Zahl durch einen speziellen Zeichensatz darstellen, der jedoch natürlich nicht jede beliebige weitere reelle Zahl darstellen kann? (ich glaube nicht, mir fällt allerdings so direkt kein Gegenbeweis ein)
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Es gibt reelle Zahlen die lassen sich prinzipiell nicht endlich beschreiben.
| Zitat: |
2) Hat sich schon irgendein Mathematiker Gedanken über einen abzählbar unendlich großen Zahlenkörper gemacht, der alle rationalen Zahlen und mehrere (so viele wie möglich?) reelle Zahlen beinhaltet? Also sowas wie die Menge der mit mathematischen Symbolen darstellbaren reellen Zahlen, oder die aller mit einem endlichen Zeichensatz darstellbaren reellen Zahlen, falls 1) nicht zutrifft.
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Ich kann mir nicht vorstellen, dass da nicht schon mal jemand drüber nachgedacht hat.
Die Menge der endlich berechenbaren oder endlich definierbaren reellen Zahlen ist z.B. sogar ein Körper und nur abzählbar unendlich.
PS:
Dir ist klar, dass ne Formulierung wie "so viele wie möglich?" nicht wirklich definiert ist in dem Kontext?
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"Do you believe in free will?" "I have no choice."
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Ina
gemeine europäische Kellerratte
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Mir wird gerade grausam bewusst, dass es so was Erhaben-Bescheuertes wie nen Mathe-Thread im Keller niemals geben wird *schnüff*
Ich geh diesen Fasching theoretisch als mathematisches Monster.
Graphische-Muster-Klamotten, um den Hals ein Feder-Teil, für die (ausgerissenen) Schwingen des Geistes, ne Geschenksrosette am Hüftbendel als Gütesiegel und nem Kälberstrick in der Hand als Fallstrick für alle Unvorsichtigen. Dazu ne überdimensionale Brille, Kopftuch (mit regelmäßigen Punkten) und behaarte Beine, die in Wollsocken enden, weil die Wahrheit bekanntlich ein hässliches altes Weib ist - an den Rockschoß gehören natürlich trotzdem ein paar angepinnte, verblasste, verstaubte, zerknitterte Plastikblümchen, zum Anlocken der ganz Verzweifelten.
Praktisch geh ich allerdings diesen Fasching in der speziellen mathematischen-Monster-Form der transzendeten Zahl. Und zwar nicht als eine von der jämmerlichen Sorte (Logarithmen etc,) nene, als eine von denen, die noch keiner (netmal formal) zu sehen bekommen hat.
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Hansi
unregistriert
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Mh, na wenigstens mit einem Thema kriegt man @Ina aus dem Keller
. Aber dann leider eins, wo ich mal überhaupt nich mitreden kann 
. Ironie des Lebens...
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Arne Kroger
unregistriert
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Was meinst Du denn mit "darstellbar", @Yog?
Ich meine, erstmal ist z.B. jede reelle Zahl auf einem Zahlenstrahl darstellbar, den die entspricht ja einem Punkt und sobald dieser stetig ist, ist sie damit auch darstellbar.
Verstehe jetzt nicht ganz, wie Du das meintest.
Aber, was @Xoc und ich gerade im Chat hatten, müsste man sich auch mal überlegen.
Kann man mit imaginären Zahlen potenzieren??? Und wie stellt man z.B. i auf einem Zahlenstrahl dar? Und vor allen Dingen: Geht das eindeutig???
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| Zitat: |
Original von Xoc
Du solltest dazu sagen, dass es keine endliche Darstellung gibt. Eine unendliche Darstellung gibt es selbstverständlich. |
Seltsam, muss ich wohl vergessen haben zu erwähnen. Dass man Zahlen wie Pi mit einer unendlich großen Anzahl von Zeichen aus einer endlichen Menge darstellen kann ist natürlich klar.
Edit: Ich meine natürlich alle reellen Zahlen, nicht Pi. Selbstverständlich gilt das dafür auch, was aber irrelevant ist, da sich Pi "darstellen" lässt.
| Zitat: |
Original von Xoc
Es gibt reelle Zahlen die lassen sich prinzipiell nicht endlich beschreiben. |
Kennst du da einen halbwegs einfachen Beweis, oder zumindest die grobe Beweisidee?
...aber wenn es diese Zahlen tatsächlich geben sollte kannst du mir doch sicher ein konkretes Beispiel nennen, oder? 
| Zitat: |
Original von Xoc
Die Menge der endlich berechenbaren oder endlich definierbaren reellen Zahlen ist z.B. sogar ein Körper und nur abzählbar unendlich. |
Danke, ich glaube das beantwortet meine Frage.
| Zitat: |
Original von Arne Kroger
Was meinst Du denn mit "darstellbar", @Yog?
Ich meine, erstmal ist z.B. jede reelle Zahl auf einem Zahlenstrahl darstellbar, den die entspricht ja einem Punkt und sobald dieser stetig ist, ist sie damit auch darstellbar.
Verstehe jetzt nicht ganz, wie Du das meintest. |
Ich war jetzt einfach mal davon ausgegangen, dass bei der Position der Zeichen nur berücksichtigt wird, in welcher Reihenfolge sie stehen.
Es wird dir allerdings nicht gelingen bloß einen "Punkt" im Mathematischen Sinne zu zeichnen, höchsten so etwas Ähnliches wie einen ausgefüllten Kreis.
| Zitat: |
Original von Arne Kroger
Aber, was @Xoc und ich gerade im Chat hatten, müsste man sich auch mal überlegen.
Kann man mit imaginären Zahlen potenzieren??? Und wie stellt man z.B. i auf einem Zahlenstrahl dar? Und vor allen Dingen: Geht das eindeutig??? |
Komplexe Zahlen stellt man i.d.R. in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem dar, mit einer reellen Achse und einer imaginären Achse (ja, man zeichnet sie so dass man sie sieht ^^). Eine Gleichung wie z.B. 3 + 5i unterteilt man dann in den Realteil Re(3+5i) = 3, und in den Imaginärteil Im(3+5i) = 5, und das ganze stellt man dann wie einen 2-dim. Vektor (3, 5) dar.
Ob Exponenzieren tatsächlich möglich ist weiß ich nicht, aber es gibt eine Schreibweise e^(ix) die klar definiert ist für reelle (und natürlich auch irreelle) x, aber ob das mit dem Exponentieren hier wirklich eine "Bedeutung" hat, oder ob man bloß einen konkreten Algorithmus nimmt, der exp(x) für reelle x zuverlässig berechnet, und diesen auf komplexe Zahlen loslässt weiß ich nicht. Und keine Ahnung ob es möglich ist, b^(x) für beliebiges b und irreelles x zu berechnen.
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Arne Kroger
unregistriert
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Also:
1. Ich bin kein Einser-Abiturient. Als ich das Abi machte, galten noch andere Regeln. Ich tippe mal: Ein Einserabi 2007 ist ungefähr ein 4,0 - Abi 1982 gewesen. Das heißt, ich wäre heute wohl noch ein -1 - Abiturient.
2. Das mit den Exponenten aus den komplexen Zahlen ist wahrscheinlich auch für die heutigen Einser-Abiturienten zu schwer. Ich meine, dass es gehen müsste, aber habe auch keinen Beweis dazu, der schlüssig erscheint.
3.Lass Dir Unendlich als Zahl mal patentieren, @Lovecraft, evtl. wird das mal wertvoll, wenn man feststellt, dass das Universum doch endlich ist, dies aber zahlenmäßig nicht ausdrücken kann und dann hast Du evtl. die Rechte an der Ausdrucksweise.
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Hansi
unregistriert
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| Zitat: |
| 1. Ich bin kein Einser-Abiturient. Als ich das Abi machte, galten noch andere Regeln. Ich tippe mal: Ein Einserabi 2007 ist ungefähr ein 4,0 - Abi 1982 gewesen. Das heißt, ich wäre heute wohl noch ein -1 - Abiturient. |
Das halt ich ja mal fürn Gerücht. Es ist offensichtlich das die Lehrpläne im Laufe der Jahre immer umfangreicher und komplexer werden. Merkt man sogar schon daran, was man Erstklässlern heute schon alles aufbürdet. Und dann wird auch noch über eine Verkürzung der Abi-Zeit auf 12 Jahre diskutiert, damit wird das ganze noch komplexer. Zudem gibt es wieder Zentralabitur (da weiß ich allerdings nicht, wie das damals bei euch im Westen war). Auf jeden Fall ist es Kappes die schulischen Leistungen eines heutigen Abiturienten zu abzuwerten.
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Arne Kroger
unregistriert
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Nee. 25% Fehlstunden = Kursus nicht anerkannt, 0 Punkte, völlig unabhängig davon, warum und welche Leistungen ansonsten und danach hätten hier diejenigen, die heute Einser-Abis haben, gar kein Abi. Und was Englisch anbelangt, mein Hassfach, wundere ich mich öfters, was ich da noch lernen musste und andere bis heute nicht können.
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Mir sind eigentlich nur zwei Formen des Potenzierens mit komplexen Zahlen bekannt:
1) z^(p/q), wobei z eine komplexe Zahl und p/q eine rationale Zahl ist. z^p lässt sich recht intuitiv berechnen, z.B. ist (2+3i)^2 laut 1. bin. Formel 2^2 + 2*2*3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i. Die q-te Wurzel daraus zu berechnen ist schon schwieriger, und dabei ergeben sich auch bis zu q unterschiedliche Lösungen, wenn ich mich recht erinnere.
2) Die Exponentialfunktion exp(x) hat die Reihendarstellung Summe[k von 0 bis unendlich] (x^k / k!). Diese konvergiert sowohl für reelle, als auch für komplexe x, liefert also immer einen endlichen Wert zurück. Eine andere Schreibweise für exp(x) ist e^x, und die wird auch für komplexe x benutzt, und soweit ich weiß gelten auch die normalen Potentierungsgesetze, also z.B. e^(x + iy) = e^x * e^(iy).
Ich hatte ja bereits erwähnt, dass man eine komplexe Zahl z = x + iy als Vektor (x, y) beschreiben kann. Die Zahl e^(iy) ist im Prinzip ein Vektor mit Betrag 1 in der komplexen Ebene (reelle Achse und irreelle Achse), und sein Winkel zum Vektor (1, 0) wird durch y im Bogenmaß beschrieben, d.h. e^(i*0) = e^(i*2Pi) [0°] entspricht dem Vektor (1, 0) = 1, e^(i*Pi/2) [90°] entspricht (0, 1) = i, e^(i*Pi) [180°] entspricht (-1, 0) = -1, und e^(i*3Pi/2) [270°] entspricht (0, -1) = -i.
Einen Vektor der Länge r erhält man durch die Formel r*e^(iy).
...das soll jetzt nicht heißen dass das die einzigen Möglichkeiten sind, mit komplexen Zahlen zu potentieren; ich kenne nur keine weiteren...
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Ina
gemeine europäische Kellerratte
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Ergänz noch ein bisschen, dass man aus der Reihendarstellung der Exponentialfunktion ablesen kann, dass exp(iy)=cos(y)+i*sin(y) und denk an den Einserabiturientenscheiß, dass z^a=exp(a log z) ist, was auch in den komplexen Zahlen so definiert werden kann und schon kannst du immer deine komplexen Zahlen potenzieren, weil exp ja auf der Menge definiert ist.
Musst dich bloß noch dran erinnern, dass z=|z|exp(iy) und exp(iy)=exp(iy+2k*pi) (k aus Z), wodurch du mit log(z)=log|z|+i(y+2k*pi) deine Uneindeutigkeiten kriegst - wobei es aber viel hübscher ist, die nicht zu beachten, weil man dann geiles Zeug wie pi=2 beweisen kann.
Steht eigentlich in jedem Buch über den Kram, aber ich will ja auch in Wirklichkeit nur den @Arne anpissen.
Also @Arne, es ist mir wiederholt aufgefallen, dass du umso größere Scheiße zu schreiben scheinst, je mehr ich mich selber mit dem Thema auskenne. Daraus ist wohl zu folgern, dass du immer die größte Scheiße schreibst. Noch ein Punkt für @Hansis Umfrage.
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Hansi
unregistriert
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Arne Kroger
unregistriert
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| Zitat: |
Original von Ina
Also @Arne, es ist mir wiederholt aufgefallen, dass du umso größere Scheiße zu schreiben scheinst, je mehr ich mich selber mit dem Thema auskenne. Daraus ist wohl zu folgern, dass du immer die größte Scheiße schreibst. Noch ein Punkt für @Hansis Umfrage. |
Tja, wäre im Umkehrschluß natürlich dann auch so, dass ich eigentlich sehr skeptisch werden sollte gegenüber Usern, die meinen, "Der Wille zur Macht" sei tatsächlich von Friedrich Nietzsche autorisiert worden anstatt von zwei herrschsüchtigen Weibern wahllos aus dem Nachlass des mittlerweile voll senilen Fritz irgendwie zusammengestellt worden. Noch bedenklicher wird das dann, wenn man bedenkt, dass eben diese Userin gerade darin angeblich wichtige Ansätze für ihre eigene Philosophie fand.
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Ina
gemeine europäische Kellerratte
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Ich finds schön, dass du meine doch ziemlich dreisten Behauptungen gleich nochmal belegst. Außerdem sind dämliche Aussagen über Ina wesentlich verzeihlicher als dämliche Aussagen über Mathematik. Einfach zu letzterer die Fresse halten und ich bleib in meinem Loch hocken.
@Hansi: du hast nur irgendwann mal gesagt, du wolltest einen Streitpunkt zwischen euch beiden per Umfrage klären.
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| Zitat: |
Original von Arne Kroger
Als ich das Abi machte, galten noch andere Regeln. Ich tippe mal: Ein Einserabi 2007 ist ungefähr ein 4,0 - Abi 1982 gewesen. |
Gut möglich, mein ehemaliger Mathe-LK-Lehrer meinte ja auch immer, die Schüler werden immer blöder. Damals gab es vermutlich auch weniger Abiturienten als heute. Gut belegt wird das an folgendem: Ich hatte mir mal noch zu Schulzeiten auf einem Flohmarkt ein Mathe- (etwa 10. Klasse) und Physikbuch für Realgymnasiasien von vor dem ersten Weltkrieg gekauft (mit gesammelten Prüfungsaufgaben seit 1890) gekauft. Da staunste nicht schlecht, da hätte heute kaum einer eine Chance gehabt, diese Aufgaben zu lösen (jedenfalls ohne weiteres - sphärische Trigonometrie, daß es kracht, alles ohne Taschenrechner usw.)
Wobei ganz so krass ist es sicher nicht. 1982 muß dann ja entweder der erste Jahrgang mit LK-System gewesen sein, oder der letzte zuvor.
| Zitat: |
| Lass Dir Unendlich als Zahl mal patentieren, @Lovecraft |
Ich hatte eher an sowas wie ein halb Wurzel zwei gedacht. Dann könnte ich von den Kopiererherstellern Lizenzgebühren verlangen. Sonst müssen sie die (mathematisch) unkorrekte Angabe 77% für die Verkleinerungsfunktion verwenden.
50 Pfennig von jedem Schul-Kopierer hätten mir schon gereicht ;-)
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Sollen sie mich doch hassen, wenn sie mich bloß fürchten. (Unveröffentlichtes Abizeitungs-Lebensmotto)
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Arne Kroger
unregistriert
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Original von Ina
Einfach zu letzterer die Fresse halten und ich bleib in meinem Loch hocken.
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Tja, und wenn wir das einfach wollten und Du noch immer so berechenbar bist wie eine einfache Funktion???
@Lovecraft:
Ja, früher war auch Hebräisch noch die Sprache des Bürgertums. Und Realgymnasium, so hieß die Scheiße auch noch bis in die 60er Jahre, auf die ich gehen musste. Später war das ein mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium, als ich da rauf kam und ich hatte noch Stress mit den Eltern damals, dass ich nicht auf ein althergebrachtes humanistisches Gymnasium wollte, auf dem auch mein Vater war.
Wir waren der zweite Jahrgang mit reformierter Oberstufe, aber so der erste, bei dem alle Schulen die eingeführt haben mussten. Das hatte bei uns das Resultat, dass wir noch absolut lächerliche Stundenpläne hatten. Montags hatte ich z.B. in einem Halbjahr 1. Std. Deutsche und dann wieder 6.+ 7. Std. Musik. Wer würde heutzutage nicht an diesem Tage blau machen, wenn es damals nicht die 25% - Regelung gab. Und es war auch so, dass die Stunde als versäumt galt, wenn man mehr als 5 Minuten zu spät kam. Gab sogar Pauker, die dann den Raum abschlossen, damit keiner mehr rein kam (und gab Schüler, die diese Lehrkräfte dann im Ministerium wegen Verstoß gegen die Brandschutzordnung anschwärzten 
).
Aber manmerkte damals schon, dass sich auch unter den Paukern die Generation breit machte, die eben nach 1945 geboren waren und die keine russische Kriegsgefangenschaft oder ähnliches mehr erlebt hatten, so dass einiges an kritischem Bewusstsein nachließ.
Denn eines kommt mit Sicherheit dabei raus, wenn man das alles zu einfach macht. Die Leute sind nicht mehr so kritisch gegenüber dem System, als wenn sie ein hammerhartes Selektionssystem kennenlernen (wobei damals auch noch eine ganze Menge über Schichtzugehörigkeit gemanagt wurde).
Aber ich möchte @Ina nicht die Genugtuung nehmen, dass sie der Traum des bayerischen Bildungswesens war und ist.
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@Lovecraft: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Verhältnis von zwei benachbarten Seiten eines Din-A4 Blattes tatsächlich ganz exakt Wurzel(2) : 2 = 1 : Wurzel(2) oder dem Kehrwert entspricht ist leider 0%; aber du kannst ja mal probieren, die (überabzählbar unendlich große) Menge der reellen Zahlen zu schützen, die sich von Wurzel(2) nicht mehr als um einen Faktor x bzw. x^(-1) unterscheiden.
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Stimmt. Es ist zwar möglich, hat aber dennoch die Wahrscheinlichkeit 0; ein (fast) unmögliches Ereignis. Deshalb, in diesem Bewußtsein, schrieb ich ja auch ausdrücklich, daß 77% eine mathematisch unkorrekte Angabe sei. Physikalisch ist es aber auch ungenau, deshalb empfiehlt es sich, für Schulkopierer für Mathe- und Physiklehrer meine Angabe zu verwenden.
Völlig offtopic (und damit in diesem Sräd eigentlich On-topic), nur um zu zeigen, daß wir hier auch mithalten können mit jenen mit den mehrseitigen Signaturen: Ich hatte auch mal längere Zeit als Parkwächter 'gearbeitet', weil ich keinen Bock mehr hatte und ich mich auch nicht besonders gut fühlte. Also quasi genau umgekehrt herum. Ich biete also für jeden was zur Identifikation, hähä.
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Sollen sie mich doch hassen, wenn sie mich bloß fürchten. (Unveröffentlichtes Abizeitungs-Lebensmotto)
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